La technique de la « sphère floue » permet de mieux comprendre les transitions de phase

Quelque chose de fondamental dans la physique de notre univers pourrait se cacher derrière ces transitions apparemment sans rapport : tous les changements de phase semblent partager une symétrie profonde connue sous le nom d’« invariance conforme ».

Pendant plus de cinq décennies, ce lien n’a été qu’une conjecture. Un article publié cette année dans Physical Review X décrit une nouvelle méthode d’étude de cette symétrie, ce qui représente une avancée passionnante.

« C’est le travail le plus passionnant que j’aie jamais accompli. Ce résultat est vraiment incroyable », déclare Yin-Chen He, membre du corps professoral de recherche à l’Institut Périmètre. « Notre approche nous a permis d’accéder à de nombreuses informations nouvelles qui n’étaient pas possibles avec d’autres méthodes. » 

M. He et ses collègues ont effectué une cartographie des données de transition de phase sur une sphère en utilisant des coordonnées non commutatives. Leur technique de la « sphère floue » donne plus de clarté sur la symétrie conforme que les méthodes précédentes, avec un modèle remarquablement simple. Les implications pourraient être révolutionnaires.

Comprendre la symétrie conforme

L’étude des transitions de phase remonte à près de deux siècles. Dans les années 1920, des physiciens allemands ont réalisé une avancée majeure en créant un modèle de fonctionnement du ferromagnétisme (le comportement magnétique du fer et des métaux similaires) à l’échelle microscopique. Le modèle d’Ising, nommé d’après Ernst Ising, l’un de ses développeurs, fonctionne en considérant le « spin » – ou moment magnétique – des électrons individuels dans un matériau.

Le modèle d’Ising utilise un réseau de grilles ressemblant à du papier millimétré pour représenter le matériau. Chaque point où les lignes de la grille se croisent représente un électron avec un spin différent. Chaque électron ne peut agir que sur ses voisins les plus proches.

À haute température, les spins des électrons agissent de manière aléatoire, sans motifs discernables. Mais en dessous d’une température critique, un changement de phase se produit : les électrons commencent à s’aligner, un voisin à la fois, jusqu’à ce que tout le matériau soit magnétisé. Le système passe d’un état désordonné à un état ordonné de manière apparemment spontanée.

Au point critique, quelque chose d’autre de surprenant se produit. Le modèle de comportement affiché par chaque électron et ses voisins semble le même, quel que soit le zoom avant ou arrière. De cette manière, les modèles observés sur quelques dizaines d’électrons semblent identiques à ceux observés sur un million d’entre eux. Il s’agit d’une sorte de symétrie connue sous le nom d’« invariance d’échelle ». L’invariance d’échelle émergent, une propriété qui se manifeste que lorsque de nombreuses particules agissent ensemble, plutôt que sur des particules individuelles. Elle n’apparaît qu’au point de changement de phase, ni avant ni après.

Les physiciens soupçonnent qu’il existe ici une symétrie encore plus profonde qui inclut l’invariance d’échelle, mais qui présente plusieurs caractéristiques supplémentaires. Cette symétrie conforme spéciale, c’est ainsi qu’on la nomme, préserve les angles mais pas nécessairement la distance. Il s’agit d’une propriété fondamentale de certaines théories quantiques des champs appelées à juste titre théories conformes des champs Ces théories intéressent non seulement les physiciens de la matière condensée comme M. He, mais aussi les physiciens des hautes énergies qui travaillent sur les théories des cordes ou la gravité quantique, etc.

La symétrie conforme apparaît au point critique dans les modèles d’Ising bidimensionnels, mais reste conjecturale en trois dimensions.

Travailler avec une sphère floue

Les physiciens sont  fascinés par les transitions de phase en raison du fait que des phénomènes très disparates semblent partager des propriétés identiques, reliant la congélation, la fusion, le magnétisme et la supraconductivité.

Toutes les transitions de phase, par exemple, ont des « exposants critiques » qui sont des nombres universels qui caractérisent les transitions.

Un réseau de type grille peut être utilisé pour calculer les exposants critiques : en agrandissant de plus en plus le réseau (ce qu’on appelle la mise à l’échelle de taille finie), les physiciens peuvent finalement produire ces nombres universels.

Cependant, il serait extrêmement utile d’avoir une méthode différente et indépendante de calculer les exposants critiques. C’est là qu’intervient la méthode de la sphère floue.

« Placer ce système sur une sphère est une façon de vérifier si l’on dispose réellement d’une théorie des champs conformes », explique Emilie Huffman, chercheuse postdoctorale à l’Institut Périmètre et co-auteure de l’article. « Vous pouvez vérifier si ces nombres universels correspondent lorsque vous les mesurez dans un sens ou dans l’autre. »

Cependant, il n’est pas facile d’adapter un système de coordonnées de type grille à une sphère.

« C’est comme prendre du papier millimétré et essayer de l’ajuster sur une balle de tennis ou quelque chose comme ça. C’est vraiment difficile de le faire fonctionner », explique Huffman.

Les chercheurs avaient besoin d’une solution de contournement pour éviter les défauts de l’application d’un réseau rectangulaire (ou même cubique en 3D) à une forme sphérique.

Ils ont trouvé une solution en mettant de côté les coordonnées de l’espace-temps. Au lieu d’imaginer que chaque particule a un point défini dans l’espace, ils permettent de définir vaguement les positions des particules. En fait, leurs positions exactes sont désormais inconnues. Au lieu de cela, il y a une sorte de distribution de probabilité de l’endroit où chaque particule est susceptible de se trouver sur la sphère. Dans ce scénario, les coordonnées de chaque particule deviennent « non commutatives ».

Si quelque chose est commutatif, cela indique que l’ordre des opérations n’a pas d’importance. Changer l’ordre ne modifie pas le résultat : 1+2 égale 2+1.

Si quelque chose n’est pas commutatif, l’ordre est important. Envisagez de faire pivoter un livre : d’abord le long de l’axe x, puis de l’axe y. Recommencez dans l’ordre inverse : faites-le tourner le long de l’axe y, puis de l’axe x. Le livre se retrouvera dans une position différente. L’ordre des rotations change le résultat. Ce processus est donc non commutatif.

Sur une sphère avec des coordonnées non commutatives, il est impossible de savoir exactement où se trouve une particule sur la sphère, car sa position varie en fonction de la manière dont vous la mesurez. Les coordonnées sont un peu « floues ».

Bien sûr, cela rend impossible tout type de calcul définitif utilisant les positions des particules impossible. L’équipe a donc été contrainte de donner aux particules une propriété différente bien définie avec laquelle travailler. En considérant un champ magnétique qui englobe la sphère, l’équipe a pu vérifier que chaque particule avait un moment angulaire défini. Avec cette propriété alternative connue en place, les simulations informatiques ont toujours des nombres discrets avec lesquels travailler.

« C’est un peu comme une version quantique de la géométrie », explique He. « Cela rappelle le principe d’incertitude de la mécanique quantique, dans lequel les coordonnées x (la position) et l’impulsion ne sont pas commutatives. Cette idée va encore plus loin, dans laquelle même votre espace n’est pas commutative. »

Le principe d’incertitude explique comment l’acquisition de plus d’informations sur une propriété d’une particule quantique, tels que son impulsion, restreint ce que vous pouvez connaître sur une autre propriété, telle que sa position. Un phénomène similaire se produit sur la sphère floue. Les moments angulaires sont bien définis, mais le compromis est que vous perdez la clarté sur les coordonnées exactes de chaque particule.

Le bon côté de ce compromis est que les défauts causés par la mise en place d’un réseau d’espace-temps sur une sphère peuvent être contournés. Les conséquences de ce compromis ont été stupéfiantes.

Ce qu’ils ont découvert (et ce que cela pourrait signifier)

L’équipe a été surprise par le succès de leur nouvelle méthode pour produire des exposants critiques qui correspondent à ceux produits via la méthode de treillis.

« Ce qui est miraculeux, c’est que cela fonctionne très bien », dit He. « Dans le passé, lorsque les gens simulaient des transitions d’Ising à l’aide de modèles de treillis, ils devaient simuler des tailles de systèmes énormes. En général, il faut aller jusqu’à des milliers ou des millions de spins, et même dans ce cas, on n’obtient qu’une quantité limitée d’informations. Mais dans notre cas, environ 16 spins peuvent nous donner un résultat assez précis et donner beaucoup plus d’informations que ces simulations de treillis traditionnelles de millions de spins. C’est vraiment important. C’est pourquoi ce résultat est vraiment étonnant. »

Les systèmes plus petits rendent la nouvelle technique moins gourmande en calculs, bien que He reconnaisse une certaine perte de précision. Néanmoins, leur approche fournit un nouvel outil puissant pour examiner la symétrie conforme dans les transitions de phase.

« Cela ne devrait pas fonctionner aussi bien », dit-il. « Je suppose qu’il y a quelque chose de très fondamental caché là-dedans. Il existe peut-être des liens profonds entre cette géométrie non commutative, les transitions de phase et les théories conformes des champs. »

L’un des défis majeurs et de longue date de la communauté des physiciens a été de définir et de régulariser les théories quantiques des champs. L’utilisation de la géométrie non commutative pour y parvenir est l’une des nombreuses directions que les gens ont suivies dans le passé.

« On ne sait pas vraiment si c’est vraiment la bonne voie à suivre », dit He. « Mais maintenant, avec nos résultats, je pense que c’est le bon moment pour vraiment revoir cela. Peut-être que cette pièce manquante est secrètement cachée dans notre approche, bien que je ne sache pas précisément de quoi il s’agit. »

La méthode de la sphère floue pourrait être la clé pour prouver la symétrie conforme dans le modèle d’Ising 3D et pour débloquer un schéma mathématique plus large pour les théories quantiques des champs. Lui et ses collègues sont prudents mais ne peuvent s’empêcher d’être enthousiasmés par ce qu’ils voient.

« Peut-être que notre modèle est défini en utilisant la bonne base, de sorte qu’il est très proche du résultat final. C’est mon intuition. « Cela expliquerait pourquoi cela fonctionne si bien », dit He. « Cela pourrait éventuellement nous guider vers la recherche de la solution exacte que les gens recherchent. Mais peut-être que ce n’est qu’un fantasme! Je pense que ce sont tous des coups bas, mais les possibilités sont passionnantes! »

Lire l’article :

Wei Zhu, Chao Han, Emilie Huffman, Johannes S. Hofmann, and Yin-Chen He, Découvrir la symétrie conforme dans la transition d’Ising 3D : correspondance état-opérateur à partir d’une régularisation de sphère floue quantique « Uncovering Conformal Symmetry in the 3D Ising Transition: State-Operator Correspondence from a Quantum Fuzzy Sphere Regularization », Phys. Rev. X 13 (2023) 021009.