Les interactions de force forte sont complexes. Cette nouvelle astuce les rend plus faciles à comprendre.

Les humains comprennent intuitivement la gravité. Plus nous nous rapprochons d’un corps massif, plus nous ressentons son attraction gravitationnelle. Plus on s’éloigne de cette masse, moins son emprise est forte.

Mais au cœur d’un atome, là où la « force forte » détermine le comportement des quarks et des gluons, il se produit un phénomène qui va à l’encontre de l’intuition.

Plus les quarks et les gluons sont proches les uns des autres, plus ils se déplacent librement. Pourtant, s’ils tentent de s’éloigner les uns des autres, la force devient considérablement plus forte.

En ce sens, c’est l’inverse du fonctionnement de la gravité. Et c’est la raison pour laquelle votre table, votre chaise, votre ordinateur — et vous-même! — ne vous dispersez pas dans les airs. Malgré les charges positives des noyaux des atomes, ces particules restent fortement liées entre elles. Il était clair au début du XXe siècle que l’atome était constitué d’électrons en orbite autour d’un noyau chargé positivement, et qu’il devait y avoir une force forte capable de maintenir la cohésion du noyau et de surmonter la répulsion électromagnétique.

Cependant, ce n’est qu’avec les expériences de diffusion inélastique profonde menées à l’accélérateur linéaire de Stanford « Stanford Linear Accelerator (SLAC) » à la fin des années 1960 et au début des années 1970 que les scientifiques ont obtenu les premières preuves expérimentales que les protons sont composés de constituants ponctuels plus petits (quarks et gluons, appelés collectivement partons). De manière tout aussi cruciale, ces expériences ont montré que les particules au sein des noyaux peuvent se déplacer librement lorsqu’elles sont proches les unes des autres, mais se retrouvent fortement liées lorsqu’elles s’éloignent les unes des autres.

Mais la question demeurait : pourquoi?

Notre compréhension s’est approfondie dans les années 1970, lorsque les scientifiques David Gross, Frank Wilczek et, indépendamment, David Politzer, ont découvert comment fonctionne la « liberté asymptotique » dans la théorie des interactions fortes. Ils ont décrit clairement comment l’intensité de la force forte varie en fonction de la distance ou de l’énergie (ce que les physiciens appellent la dépendance d’échelle), une découverte qui leur a valu le prix Nobel en 2004.

C’est de leurs équations qu’est issu le facteur 11/3 (mathématiquement) célèbre de la fonction bêta à une boucle. Ce facteur provient de calculs détaillés des fluctuations quantiques impliquant les boucles de gluons dans le noyau. Il est au cœur de la version moderne de la chromodynamique quantique, qui constitue à l’heure actuelle notre meilleure description de la force forte au sein des noyaux des atomes.

Un nouvel outil mathématique

Néanmoins, les calculs relatifs aux interactions entre gluons et quarks sont notoirement difficiles, notamment lorsqu’on utilise des outils tels que les diagrammes de Feynman.

Mais récemment, deux chercheurs en physique mathématique de l’Institut Périmètre – Kevin Costello, membre du corps professoral et titulaire de la chaire Krembil William Rowan Hamilton, et Roland Bittleston , chercheur postdoctoral – ont mis au point un nouvel outil permettant d’y parvenir, en s’appuyant sur un « théorème d’indice sur l’espace des twisteurs ».

La théorie des twisteurs est un cadre mathématique qui reformule des champs physiques complexes dans un espace-temps à l’aide de données algébriques simples. La théorie de l’indice, quant à elle, fait le lien entre l’analyse et la topologie. Elle permet de répondre à des questions analytiques, par exemple : « Combien de solutions possède une certaine équation différentielle ? », en fonction de la topologie, ou forme, d’un espace.

Costello affirme que la théorie des twisteurs offre un moyen de simplifier des équations complexes. Bittleston ajoute que les symétries d’échelle n’ont généralement pas de topologie intéressante, mais que dans l’espace des twisteurs, la symétrie d’échelle s’enroule sur elle-même pour former un cercle, qui possède une topologie intéressante.

Le nouvel outil mathématique mis au point par Costello et Bittleston facilite le processus de compréhension de ce qui se passe dans les noyaux des atomes sur le plan informatique. L’article sur leur approche, intitulé La fonction 𝛽 de la chromodynamique quantique (QCD) à une boucle en tant qu’indice « One-Loop QCD 𝛽 Function as an Index », été mis en vedette par la rédaction de la revue Physical Review Letters (PRL).

Leur méthode est basée sur un théorème « très ancien » et aurait pu être découverte bien plus tôt si l’on y avait prêté attention, affirment Costello et Bittleston. En fait, même eux ne le cherchaient pas spécifiquement. Leur découverte est survenue tout à fait par hasard, alors qu’ils étudiaient autre chose.

« Depuis un certain temps déjà, nous nous intéressons à certaines symétries cachées particulières – des symétries beaucoup plus profondes et difficiles à observer – et à la manière dont elles pourraient être violées à l’échelle quantique. Puis, un peu par hasard, alors que nous effectuions ce genre de calculs, cette fameuse formule 11/3 est apparue », explique Bittleston.

« Au début, c’était déroutant », ajoute-t-il. « Nous ne savions pas comment ni pourquoi elle apparaissait. Il était clair qu’il devait y avoir une explication, mais il nous a fallu un certain temps pour trouver la bonne façon d’aborder la question. »

Évolution à partir d’un ancien théorème

Leur nouvel outil constitut le dernier développement d’un chapitre ancien de l’histoire des mathématiques, qui commence avec le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch. Ce théorème, élaboré dans les années 1950 par Alexander Grothendieck, s’appuie sur les travaux antérieurs des mathématiciens du XIXe siècle Bernhard Riemann et Gustav Roch.

Ce théorème explique comment les quantités géométriques qui comptent les solutions, les dimensions ou les « degrés de liberté » peuvent se modifier lorsqu’on passe d’un espace à un autre.

Grothendieck est un personnage fascinant de l’histoire des mathématiques. Ce mathématicien français d’origine allemande se passionnait pour les mathématiques abstraites et s’intéressait pas du tout à la physique théorique.

Pourtant, il a révolutionné les mathématiques en étudiant non seulement les objets, mais aussi les relations entre les espaces. Cette approche s’avère particulièrement utile aux physiciens théoriciens qui étudient comment les fragments d’espace-temps constituant la réalité s’assemblent.

Mais Grothendieck a ensuite tout simplement quitté le monde universitaire. En 1971, alors qu’il faisait progresser le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch, il a laissé une note satirique intitulée Hexenküche (qui signifie « Cuisine des sorcières » en allemand) sur laquelle figuraient des gribouillis représentant de petits diables armés de fourches, s’exclamant : « Le diagramme est commutatif! »

Il considérait le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch comme un excellent exemple de la façon dont les mathématiques pures étaient devenues une sorte de « délire ». Il souhaitait que ses mathématiques se déploient naturellement et était frustré que sa démonstration exige des centaines de pages d’explications sans pour autant révéler les structures cachées qu’il désirait tant.

Il a décidé qu’il valait mieux qu’il se concentre sur l’activisme politique et qu’il se préoccupe des maux du monde. La traduction de sa note dit notamment : « Un exemple saisissant de la façon dont notre soif de connaissance et de découverte se perd de plus en plus dans un délire logique très éloigné de la vie, tandis que la vie elle-même court à sa perte de mille façons et est menacée d’extermination finale. Il est grand temps de changer de cap! »

Il semble toutefois que Grothendieck ait perdu espoir trop tôt, car il s’avère que son théorème a laissé à la génération suivante de physiciens mathématiciens, tels que Costello et Bittleston, un cadeau mathématique. Un cadeau qui offre un moyen plus simple de comprendre ce qui se passe au niveau des interactions fluctuantes à l’origine de la force forte.

L’ajout de l’instanton

Costello explique que l’astuce mathématique qu’ils utilisent est liée à l’« instanton », un champ de gluons noué introduit vers 1970 par les physiciens Alexander Polyakov et ses collaborateurs pour décrire l’effet tunnel quantique en chromodynamique quantique, où le vide est rempli de fluctuations quantiques complexes.

On espérait initialement que les instantons pourraient expliquer le confinement des quarks aux basses énergies, mais à ce jour, ce rêve n’a pas été réalisé. Néanmoins, les instantons jouent un rôle important dans notre compréhension de la force  forte.

Bittleston explique que la dépendance à l’échelle de la chromodynamique quantique (QCD) ne serait normalement pas observable depuis l’espace des twisteurs, mais qu’elle est devenue détectable indirectement en présence d’un instanton.

Bien que leur technique soit utile pour comprendre la force forte, Costello et Bittleston affirment qu’elle pourrait également s’avérer utile dans les théories conformes des champs, qui permettent par exemple d’étudier les transitions de phase et la gravité quantique.

Costello et Bittleston sont ravis de leur découverte « fortuite ». Leur technique était principalement accessible aux physiciens théoriciens dans les années 1970, si seulement quelque s’y était intéressé. Mais ils se réjouissent de l’avoir découverte par hasard aujourd’hui, et de constater que les mathématiques pures et abstraites auxquelles Grothendieck aspirait puissent finalement servir à « prédire quelque chose de fondamental sur le monde réel ».